¿Qué es completo?

Completo (Filosofía y Lógica)

En filosofía y lógica, el concepto de "completo" (o completitud) se refiere a la propiedad de un sistema formal (como una teoría axiomática o un cálculo lógico) de ser capaz de probar o refutar todas las afirmaciones verdaderas expresables dentro del lenguaje de ese sistema. En otras palabras, un sistema completo es aquel que no deja ninguna "verdad" sin probarse.

• Definición Formal: Un sistema formal S es completo si para cada fórmula φ expresable en el lenguaje de S, ya sea φ o su negación ¬φ es demostrable en S.

• Relación con la Consistencia: La completitud está íntimamente ligada a la consistencia. Un sistema consistente es aquel donde no se pueden probar tanto una afirmación como su negación. Idealmente, se busca sistemas que sean tanto consistentes como completos. Sin embargo, el Teorema de Incompletitud de Gödel demostró que esto no siempre es posible.

• Teoremas de Incompletitud de Gödel: Estos teoremas, formulados por Kurt Gödel en 1931, establecen limitaciones fundamentales sobre la completitud de sistemas formales lo suficientemente complejos como para contener la aritmética básica.

  • Primer Teorema de Incompletitud: Establece que para cualquier sistema axiomático consistente lo suficientemente poderoso para expresar verdades aritméticas básicas, existen enunciados verdaderos sobre la aritmética que no pueden ser probados ni refutados dentro del sistema. (Ver más sobre https://es.wikiwhat.page/kavramlar/Primer%20Teorema%20de%20Incompletitud%20de%20Gödel)

  • Segundo Teorema de Incompletitud: Establece que si un sistema axiomático es lo suficientemente potente, no puede demostrar su propia consistencia. (Ver más sobre https://es.wikiwhat.page/kavramlar/Segundo%20Teorema%20de%20Incompletitud%20de%20Gödel)

• Ejemplos:

  • Lógica Proposicional: La lógica proposicional (también llamada lógica de enunciados) es completa.

  • Lógica de Primer Orden: La lógica de primer orden (o lógica de predicados) es semicompleta en el sentido de que si una fórmula es lógicamente válida, entonces existe una derivación formal de ella. Sin embargo, no es completa en el sentido de que no todas las estructuras que satisfacen una teoría dada son isomorfas.

• Implicaciones: Los teoremas de incompletitud de Gödel tienen profundas implicaciones filosóficas sobre los límites del conocimiento formal, la naturaleza de la verdad matemática, y la posibilidad de una fundamentación completa de las matemáticas. Desafiaron la visión de que las matemáticas podían ser axiomatizadas de manera completa y consistente.

• Completitud Semántica vs. Sintáctica: Es importante distinguir entre la completitud semántica y la completitud sintáctica. La completitud semántica se refiere a la capacidad de un sistema de probar todas las afirmaciones que son verdaderas en todos los modelos del sistema. La completitud sintáctica se refiere a la capacidad de un sistema de probar toda afirmación verdadera dentro del sistema. Los teoremas de Gödel se refieren a la completitud sintáctica.

• Aplicaciones en Informática: El concepto de completitud también es relevante en informática, especialmente en el contexto de la teoría de la computabilidad y el desarrollo de lenguajes de programación. Un lenguaje de programación es Turing-completo si puede computar cualquier función computable por una máquina de Turing. (Ver más sobre https://es.wikiwhat.page/kavramlar/Turing-completo)